Cirkelvergelijkingen

Een cirkel kan aan de hand van het middelpunt en de straal beschreven worden met een vergelijking.

Hoe ziet zo’n vergelijking er nou uit en hoe stel je deze zelf op?

Mr. Chadd legt het voor je uit!

cirkelvergelijkingen

Vorm van een cirkelvergelijking

Een cirkel wordt altijd beschreven door de formule (x-a)²+ (y-b)²= r². Hierin is a de x-coördinaat van het middelpunt en b de y-coördinaat van het middelpunt. Het middelpunt is dus gegeven door M(a,b). R is de straal van de cirkel. Deze vergelijking kan in verschillende situaties gebruikt worden om de cirkelvergelijking te vinden.

Kwadraatafsplitsen

Als je een vergelijking als x²+ y²- 4x + 6y - 3 = 0 moet herleiden tot een cirkelvergelijking, dan gebruik je ‘kwadraatafsplitsen’. Dat betekent dat je de term x²-4^x omschrijft tot iets (x-2)². Het is daarom handig om de vergelijking eerst op te schrijven als x²-4x + y²+ 6y - 3 = 0. Uit (x-2)²- 4 komt niet alleen x²- 4x, maar x²- 4x +4. De juiste manier om x²- 4x af te splitsen, door dit te schrijven als (x-2)²- 4.

Als je hetzelfde doet voor y²+ 6y, krijg je uiteindelijk (x-2)²- 4 + (y+3)²- 9 - 3 = 0. Als je dit omschrijft, kom je op de vergelijking (x-2)²+ (y+3)²= 16. Nu heb je de vergelijking van een cirkel met middelpunt (2,-3) en straal 4!

Raaklijn op de cirkel

Stel: je moet een vergelijking opstellen van een cirkel met een gegeven middelpunt die een lijn raakt. Dit kan je oplossen door een lijn op te stellen loodrecht op de raaklijn. Deze lijn gaat namelijk precies door het middelpunt!

Je hebt een cirkel met middelpunt (3,4) die de lijn k : y = ½x raakt, dan kan je de lijn door het middelpunt vinden met behulp van de formule rc_k rc_l= -1*, die zegt dat de richtingscoëfficiënt van twee raaklijnen loodrecht op elkaar precies -1 is. De richtingscoëfficiënt van lijn l is dus -2. Omdat deze lijn door het middelpunt (-3,4) gaat, is de formule van lijn l dus *l: y = -2(x-3) + 4 = -2x + 10*.

Wat je nu moet doen, is het snijpunt van k en l berekenen door *–2x + 10 = 1/2x* op te lossen. Dit geeft x = 4 en als je dit invult in *y = ½x* krijg je *y=2.*
Je hebt dus nu een punt op de cirkel met coördinaten (4,2) en het middelpunt (3,4). De afstand van het punt op de cirkel is precies de straal en je kan deze afstand berekenen met de stelling van Pythagoras. Dit geeft r = √(4-3)²+(2-4)²= √1+4 = √5. Omdat de straal √5 is en het middelpunt (3,4), is de cirkelvergelijking dus *c: (x-3)²+ (y-4)²= 5.* .

Oefenvragen