Vergelijkingen met een sinus of een cosinus zijn vaak lastig op te lossen.

Er zijn verschillende types vergelijkingen, die op verschillende manieren op te lossen zijn.

Hoe doe je dat nou eigenlijk? Mr. Chadd legt het voor je uit!

Goniometrische vergelijkingen als sin(x)=c of cos(x)=c

Ten eerste zijn er vergelijkingen van de vorm sin(x) = c of cos(x) = c, zoals sin(x) = ½√2. Dit los je op door op de exacte-waarden-cirkel te kijken waar de sinus gelijk is aan ½√2. Je kan op de cirkel zien dat dit het geval is bij x = ¼ en x = ¾π. Als je één keer de cirkel rond bent gegaan, kom je weer op een x uit waar de sinus gelijk is aan ½√2. Omdat de omtrek van de exacte waardencirkel 2π is, betekent dit dat je het antwoord noteert als x=¼π + 2kπ V x=¾ + 2kπ. Hier is k een heel getal, dat ervoor staat hoe vaak je de cirkel rond bent gegaan.

Meestal is de vergelijking een stukje ingewikkelder. Een voorbeeld hiervan is 6 cos(2x) + 2 = 5.
In dat geval moet je rekenregels volgen en dit eerst schrijven als 6 cos(2x) = 3 en daarna als cos(2x) = ½. Vervolgens kan je kijken waar de cosinus gelijk is aan ½: dit is bij 1/3π en 1 2/3π.
Je krijgt dan dus 2x = 1/3 + 2kπ V 2x = 1 2/3 π + 2kπ.
Delen door 2 geeft dus het antwoord x = 1⁄6 + kπ V x = 5⁄6π + kπ.

Goniometrische vergelijkingen als sin(x)=sin(y) of cos(x)=cos(y)

Daarnaast zie je vaak vergelijkingen van de vorm sin(x) = sin(y) of cos(x) = cos(y). Hierbij zijn er weer twee antwoorden, die je op de volgende manier kan vinden:

sin(x) = sin(y) –> x = y + 2kπ V x = π -y + 2kπ
cos(x) = cos(y) –> x = y + 2kπ V x= -y + 2kπ

Een voorbeeld van een vergelijking waar je dit kan toepassen is sin(3x) = sin(x – ½π). Hierbij gebruik je de bovenstaande rekenregel, waardoor je 3x = x – ½ + 2kπ V 3x = π – x – ½π + 2kπ krijgt.
Als je termen met x naar de andere kant brengt, geeft dit 2x = -½ + 2kπ V 4x = ½π + 2kπ. Dit geeft uiteindelijk x = -¼π + kπ V x = 1⁄8π + ½kπ.

Goniometrische vergelijkingen met een kwadraat

Soms kom je ook goniometrische vergelijken tegen met een sinus of cosinus in het kwadraat. Als deze van de vorm sin²(x) = c is, is het antwoord sin(x) = √c of sin(x) = -√c (en hetzelfde voor cos²(x)). Zo is sin²(x)= ¾ te vereenvoudigen tot sin(x) = ½√3 V sin(x)= -½ √3.

Als je goniometrische vergelijking van de vorm a sin²(x) + b sin(x) + c = 0 is (weer hetzelfde met de cosinus), moet je een substitutie gebruiken. Zo krijg je een formule van de vorm a u²+ b u + c = 0. Deze kan je dan oplossen als een ‘gewone’ kwadratische vergelijking, met de product-som-methode of de abc-formule.
Een voorbeeld van zo’n vergelijking is cos²(x) + 1½ cos(x) +½ = 0. De substitutie cos(x) = u leidt dan tot u²+ 1 ½ u + ½ = 0. Dit kan je oplossen met de product-som-methode: (u+1)(u+½) = 0. Dit geeft u = -1 V u= -½, dus cos(x) = -1 V cos(x)= -½. Dit kan je weer oplossen door te kijken naar de exacte waardencirkel: Je vindt dan x = π + 2kπ V x= 2⁄3 + 2kπ V x = 1 1⁄3 π + 2kπ.

Domein

Soms is er een domein gegeven bij de vraag. In dat geval zijn er maar een paar waarden van k waarvoor het antwoord klopt. Als het domein [0,4π] gegeven is bij het antwoord x = ½π + 2kπ, zijn de juiste antwoorden bijvoorbeeld x = ½π en x = 2½π. Het antwoord x = 4½π ligt bijvoorbeeld buiten het domein. Let daarom altijd goed op welk domein gegeven is en welke waarden van k een oplossing vinden binnen het domein.

Oefenvragen

Los de volgende vergelijkingen op:

1. 2sin( ½x) – 1 = ½
2. cos( x - ½π ) =cos( ½x + 2π )
3. sin²(2x) + ½sin(2x) -½ = 0 in het domein [0, π]
4. sin(1⁄3xπ) =sin(x–1⁄3π) in het domein [0,2π]

Leerlingen die hier vragen over hebben, keken ook naar:

Sinus, cosinus en tangens: wanneer gebruik je welke?

Wat zijn sinusoïden?

Inhoud en oppervlakte