Je hebt vast wel eens een op en neer golvende grafiek gezien bij wiskunde.

Dat is een sinus of een cosinus! Hoe stel je nou de formule daarvan op?

Mr. Chadd legt het voor je uit!

De formule van een sinusoïde

Sinusoïden zijn formules met een sinus of een cosinus. Ze zijn te herkennen doordat de grafiek heen en weer golft tussen een hoogste punt en een laagste punt, met telkens dezelfde trillingstijd. De formule heeft de volgende vorm:

y = a + b sin(c(x-d))

Hier is a de evenwichtsstand. Dit is precies het midden tussen het hoogste punt en het laagste punt. Stel, de grafiek heeft als hoogste punt y = 6 en als laagste punt y = 2, dan is a dus (6+2)/2=4.

B is in dit geval de amplitude. Dit is het verschil tussen het hoogste punt en het midden (de evenwichtsstand). Bij een hoge b zal je dus een grafiek hebben waar het verschil tussen het hoogste en laagste punt hoog is.

C heeft te maken met de periode van de grafiek. C is gegeven door c = 2π/T waarbij T de trillingstijd is. Dit is de tijd die het duurt voordat de grafiek precies één trilling heeft gemaakt. Dit is het geval als de grafiek begint in de evenwichtsstand, daarna door het hoogste én het laagste punt is gegaan en dan weer terug is in de evenwichtsstand.

D is de horizontale verplaatsing ten opzichte van de oorsprong. Je kan d vinden door te kijken wanneer de grafiek voor het eerst omhoog beweegt door de evenwichtsstand na de oorsprong. Het is belangrijk dat je kijkt naar een punt waar de grafiek omhoog beweegt en niet omlaag, anders zit je er namelijk precies een halve periode naast.

Bij een cosinus heb je te maken met dezelfde formule: y = a + b cos(c(x-d)) . Het verschil is alleen dat de d hier de x-coördinaat is van het hoogste punt en niet van het punt door de evenwichtsstand. Dit verschil komt doordat de cosinus begint op het hoogste punt en niet in de evenwichtsstand.

Voorbeeld

Je moet van deze grafiek een formule opstellen, hoe doe je dat dan?

Eerst kan je om a te bepalen kijken waar het midden zit. Je kan aflezen dat het hoogste punt op y = 3,5 zit en het laagste punt op x = 0,5. Het midden zit dan dus op (3,5+0,5)/2=2. Daardoor weet je dat a = 2.

De amplitude b is het verschil tussen het hoogste punt en de evenwichtstand. Omdat het hoogste punt op y = 3,5 zit en het midden op y = 2, heb je dus b = 3,5 -2 = 1,5.

Je kan aan de grafiek zien dat die op x = 2 voor het eerst omhoog beweegt door de evenwichtsstand. De volgende keer dat dit gebeurt, is op x = 5. Tussen x=2 en x=5 zit dus precies één trilling. De trillingstijd is dus T = 5 -2 = 3. Vanwege de formule c = 2π/T krijg je dus c = 2π/3.

Omdat de grafiek op x = 2 voor het eerst omhoog door de evenwichtsstand beweegt, krijg je dus d = 2. De formule van de sinusoïde is dus y = 2 + 1,5 sin(2π/3(x-2)).

Op dezelfde manier kan je van deze grafiek ook een formule met een cosinus maken. Alleen de d wordt dan anders: dit is namelijk het punt waar de grafiek voor het eerst bovenin zit. Je kan zien dat dit het geval is bij x=2 ¾. Daarom wordt de grafiek met een cosinus dus y = 2 + 1,5 sin (2π/3(x-2,75)) .

Oefenvraag

Stel van de volgende grafiek een formule op met een sinus, en met een cosinus:

Leerlingen die hier vragen over hebben, keken ook naar:

Sinus, cosinus en tangens: wanneer gebruik je welke?

Rechthoekige, gelijkzijdige- en gelijkbenige driehoeken

Wat zijn gebroken functies en hoe kun je ze gebruiken?