Sinus- en cosinusvergelijkingen zien er vaak ingewikkeld uit.

Gelukkig zijn er een aantal formules die het een stuk makkelijk maken. Dit zijn de verschil-, som- en verdubbelingsformules? Wat zijn deze, en hoe gebruik je ze?

Mr. Chadd legt het voor je uit!

Som- en verschilformules

De som- en verschilformules zien er als volgt uit:

• sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
• sin(α – β) = sin α cosβ – cos α sin β
• cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β
• cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Hier zijn de eerste en de derde formule vanwege het plusteken een somformule en zijn de tweede en de vierde vanwege het minteken een verschilformule. Deze formules zijn vooral handig als er iets staat als sin(x + ¼π) . In dit geval heb je namelijk a = x en b = ½π . Je kan de formule dus versimpelen naar sin(x)cos¼π) + cos(x) sin(¼π) . Omdat cos(¼π) en sin(¼π) allebei ½√2 zijn, kom je uit op ½√2 sin(x) + ½√2 cos(x) = ½√2 (sin(x)+cos(x)). Zo heb je de formule herschreven met een somformule!

Verdubbelingsformules

De verdubbelingsformule zien er als volgt uit:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

cos(2a) = cos²(a)-sin²(a)

cos(2a) = 1-2sin²(a)

cos(2a) = 2cos²(a)-1

De derde en vierde formule zijn afgeleid van de tweede formule. Omdat cos ² (a) + sin ² (a) = 1 , kan je de derde formule schrijven als cos(2a) = cos ² (a) + sin ² (a) – 2sin ² (a) = cos ² (a) – sin ² (a) , en dat is weer precies de tweede formule! Op dezelfde manier kan je ook de vierde formule afleiden. Vaak zul je de verdubbelingsformule moeten herschrijven voordat je deze kan gebruiken. Als je cos ² (½x) bijvoorbeeld wil herschrijven, moet je de de verdubbelingsformule eerst schrijven als cos ² (a) = ½cos(2a) + ½ . Als je nu a = ½x invult, krijg je als antwoord cos ² (½x) = ½cos(x) + ½. Zo heb je de verdubbelingsformule toegepast!

Oefenvragen

Herschrijf de volgende formules:

1. cos(x+1/3π)
2. sin(x-5/6π)
3. 4sin ² (½x)

Leerlingen die hier vragen over hebben, keken ook naar:

Hoe bereken je de verdubbelingstijd en de halveringstijd?

Hellinggrafiek schetsen

Hoe stel je de formule van een raaklijn op?