De afgeleide heb je vast wel eens voorbij zien komen bij wiskunde.

Je gebruikt het om hellingen en extreme waarden te berekenen. Alleen je kan ook de andere kant op! Dan bereken je de primitieve.

De primitieve van functie f(x) wordt vaak aangeduid als F(x). Hoe het precies werkt, legt Mr. Chadd je uit!

Machtsfuncties

De primitieve van een functie van de vorm f(x) = axⁿ heeft altijd de vorm F(x) = ^a/_n+1xⁿ⁺¹ + c. De c is een constante, dit kan elk getal zijn. Je moet de c er bij een primitieve er altijd bij zetten. Dat komt omdat de afgeleide van een constant getal gelijk is aan nul. Je kan controleren dat F(x) = ^a/_n+1xⁿ⁺¹ + c de juiste vorm is: Als je afgeleide hiervan neemt, krijg je namelijk f(x) = (n+1) * a/n+1 * x^(n+1)-1=axⁿ. , en dat is precies de vorm die f(x) al had.

Andere functies

Primitiveren kan niet alleen bij machtsfuncties, maar bij alle soorten functies. Hieronder staat een lijstje met wat de primitieve is bij allerlei soorten functies. Bij elk soort functie is het zo, dat de afgeleide van de primitieve weer de functie geeft die er staat.

Kettingregel

Zoals je bij de afgeleide de kettingregel hebt, heb je die ook bij de primitieve. Bij de afgeleide heeft een functie van de vorm f(x) = e^ax bijvoorbeeld een afgeleide van f'(x)=a e^ax. Bij een primitieve komt de a juist onderaan te staan: De primitieve van f(x)=e^ax is bijvoorbeeld F(x) = 1/a e^ax + c. Op dezelfde manier is de primitieve van g(x) = sin(ax) bijvoorbeeld G(x) = -1/a cos(ax) + c.

Voorbeeld
Je moet de primitieve van f(x) = 2x³ + 8x berekenen, hoe doe je dat dan? Dit is een machtsfunctie, dus we hebben de formule F(x) = a/n+1 xⁿ⁺¹ + c nodig.
In het eerste deel heb je n=3 en a=2, dus de primitieve hiervan wordt 2/3+1 x³⁺¹ = 1/2 x⁴. Het tweede deel heeft n=1 en a=8, dus de primitieve hiervan wordt 8/1+1x¹⁺¹ = 4x². Tenslotte kan je deze twee delen bij elkaar optellen en je moet natuurlijk niet de c vergeten. Daarmee kom je uiteindelijk op het antwoord F(x) = 1/2x⁴ + 4x² + c.

Stel: je moet de primitieve van de functie g(x) = 6 cos(2x) berekenen. Dan heb je de kettingregel nodig. De cosinus wordt bij de primitieve een sinus, en dankzij de kettingregel moet je de 6 delen door 2. Dat geeft als primitieve G(x) = 1/2 * 6 * sin(2x) + c = 3 sin(2x) + c.

Oefenvragen
Bereken de primitieve van:

1. f(x) = 5x²
2. g(x) = 3x³ + 7x² + 2
3. h(x) = 5ln(x)
4. j(x) = 3^4x + 5x

Leerlingen die hier vragen over hebben, keken ook naar:

Hoe bereken je integralen?

Soorten stijgen en dalen

Hoe kun je goed leren differentieren?