Hoe bereken je de toppen van een grafiek?

In veel wiskundeopdrachten wordt gevraagd om het minimum of het maximum van een formule te berekenen. Hoe doe je dat precies?

Top van een parabool

Een parabool heeft de volgende vorm: ax²+ bx + c, waarbij a, b en c getallen zijn. De top van een parabool kun je berekenen door eerst de x-coördinaat te berekenen en vervolgens de y-coördinaat die hierbij hoort.
De x-coördinaat kun je berekenen met de volgende formule: x_top= -b / (2a), waarbij je a en b uit de formule haalt. Je kunt dan vervolgens de y-coördinaat berekenen door de x_top in te vullen in de formule.

Voorbeeld

Als je formule bijvoorbeeld f(x) = 2x²+ 8x + 2 is, dan is x_top= -8 / 4 = -2.
y_top wordt dan f(-2) = 2(-2)² + 8 * (-2) + 2 = 8 - 16 +2 = -6
De coördinaten van de top zijn dan (-2, -6).

Top berekenen met de afgeleide

Soms wordt er gevraagd om de toppen te berekenen door middel van de afgeleide. Dit doe je door eerst de afgeleide zelf te berekenen. Vervolgens kan  je deze gelijkstellen aan nul en oplossen. Hier krijg je één of meerdere x-waarden uit, die je vertellen van wat de x-coördinaten van de toppen zijn. Deze kun je invullen in de oorspronkelijke formule om de y-coördinaten te vinden.

Zo werkt de app

• Begin met vragen

Voorbeeld

Als je de formule f(x) = 4x²+ 3x is, dan moet je deze dus eerst differentiëren.

f’(x) = 2 * 4x + 3 = 8x + 3.

Vervolgens moet je de afgeleide gelijkstellen aan 0:

f’(x) = 0 geeft 8x + 3 = 0
8x = -3
x = -3/8
x = -0,375

De y-coördinaten van de top zijn dan:

f(-0,375) = 4 * (0,375)²+ 3 * -0,375 = -0,5625
De coördinaten van de top zijn dan (-0,375 ; -0,5625).

In dit geval is er dus sprake van een dalparabool, waarbij de top het laagste punt van de grafiek is, oftewel het minimum van de grafiek.

Leerlingen die hier vragen over hebben, keken ook naar:

Parabolen

Hoe kun je goed leren differentiëren?

Gebruik van GR